TIDAK ADA KONEKSI

Babe ikut sedih koneksi internet kamu terputus atau tidak tersambung dengan internet

COBA LAGI

Selalu Sajikan Berita yang Kamu Inginkan
Kapan saja dimana saja !

Tersedia di

Setelah Ngamar Bareng Selingkuhan, Anita Dibunuh Jasadnya Sangat Menyedihkan

Almitania alias Anita Azka (34), perempuan berkulit putih ditemukan

BACA DI APLIKASI BABE
(303.948)
Top Developer

Matematika Dasar Logaritma (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Defantri - 14 - Oct - 2018
Matematika Dasar Logaritma (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Diskusi tentang logaritma tidak bisa kita lepaskan dari topik sebelumnya yaitu eksponen dan bentuk akar. Eksponen, aturan dasar dan defenisi bentuk akarbentuk akar, dan logaritma dapat kita istilahkan dengan tiga serangkai, karena jika dipelajari hanya salah satu belum lengkap rasanya.

Bagaimana hubungan ketiganya, secara sederhana dapat kita simak penjelasannya sebagai berikut;

  • Dari bentuk bilangan berpangkat $ {\color{Blue} a}^{\color{Red} b}={\color{Green} c} $,
  • untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} a}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} b}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $ \sqrt[{\color{Red} b}]{{\color{Green} c}}={\color{Blue} a}$
  • untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} b}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} a}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} c}={\color{Red} b}$

Beberapa contoh atau kesimpulan sederhana, bisa kita tuliskan;

  • $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $ $\Leftrightarrow $ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$;
  • $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $;
  • $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$.

Bentuk penulisan logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}=c$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang dominan berbahasa Inggris penulisan logaritma adalah $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}=c $.

Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red}c}$

  • $ {\color{Blue} a}$ disebut Basis [Bilangan Pokok]. Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ adalah $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a}\neq 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.
  • $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ adalah $ {\color{Green} b} \gt 0$
  • $ {\color{Red}c}$ disebut Hasil logaritma

Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma diatas, sekarang kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;

  • $^{a}\textrm{log}\ a=1$ karena $ a^{0}=1$
  • $^{a}\textrm{log}\ 1=0$ karena $ a^{1}=a$
  • $^{a}\textrm{log}\ x+^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \left (x\cdot y \right )$
  • $^{a}\textrm{log}\ x+^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \frac{x}{y} $
  • $^{a}\textrm{log}\ x^{n}=n\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  • $^{a}\textrm{log}\ \sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  • $^{a^{n}}\textrm{log}\ x^{m}=\frac{m}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  • $^{a}\textrm{log}\ x= \frac{^{p}\textrm{log}\ x}{^{p}\textrm{log}\ a} $
  • $^{a}\textrm{log}\ x \cdot\ ^{x}\textrm{log}\ b=^{a}\textrm{log}\ b$
  • $^{a}\textrm{log}\ x= \frac{1}{^{x}\textrm{log}\ a} $
  • $ a^{^{a}\textrm{log}\ x}= x $
  • $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $

Sekarang kita coba diskusikan beberapa soal yang sudah pernah diujikan pada Kompetisi Matematika, Proyek Perintis, Sipenmaru, UMPTN, SNMPTN, SBMPTN, Ujian Nasional, Simak UI, UM UGM atau Ujian Mandiri yang dilakukan oleh pihak perguruan tinggi lainnya.

1. SPMB 2015 Kode 634
Diketahui $^{p}log\ 2 =8$ dan $^{q}log\ 8 =4$. Jika $s=p^{4}$ dan $t=q^{2}$, maka nilai $^{t}log\ s =\cdots$
$(A)\ \frac{1}{4}$
$(B)\ \frac{1}{3}$
$(C)\ \frac{2}{3}$
$(D)\ \frac{3}{2}$
$(E)\ 3$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari data yang diketahui, kita peroleh;

$^{p}log\ 2 =8$ $\Leftrightarrow $ $p=2^{\frac{1}{8}}$

$^{q}log\ 8 =4$ $\Leftrightarrow $ $q=8^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{4}}$

$^{t}log\ s =^{q^{2}}log\ p^{4}$

$^{t}log\ s =\frac{4}{2} ^{q}log\ p$

$^{t}log\ s =2 \cdot \frac{4}{2}\ ^{2^\frac{1}{8}}log\ 2^\frac{3}{4}$

$^{t}log\ s =2 \cdot \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} ^{2}log\ {2}$

$^{t}log\ s =2 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}$

$^{t}log\ s = \frac{1}{3}$ $\B$

2. SPMB 2014 Kode 622
Diketahui $a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$. Jika $^{4}log\ b+^{2}log\ a=2$, maka $a+b$ adalah...
$(A)\ 4$
$(B)\ 6$
$(C)\ 8$
$(D)\ 12$
$(E)\ 16$

$a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$ $\Leftrightarrow $ $2a=b$

$^{4}log\ b+^{2}log\ a=2$

$\frac{1}{2}^{2}log\ b+^{2}log\ a=2$

$^{2}log\ b^{\frac{1}{2}}+^{2}log\ a=2$

$^{2}log\ \left( b^{\frac{1}{2}} \cdot a \right)=2$

$b^{\frac{1}{2}} \cdot a =2^{2}$

$(2a)^{\frac{1}{2}} \cdot a =4$

$2a \cdot a^{2} =16$

$a^{3} =8$

$a=2$ dan $b=4$

Nilai $a+b=2+4=6$ $\B$

3. SPMB 2013 Kode 425
Jika $^{x}log\ w=\frac{1}{2}$ dan $^{xy}log\ w=\frac{2}{5}$ maka nilai $^{y}log\ w$ adalah$\cdots$
$(A)\ 8$
$(B)\ 6$
$(C)\ 4$
$(D)\ 2$
$(E)\ 1$

$^{x}log\ w=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow ^{w}log\ x=2$

$^{xy}log\ w=\frac{2}{5}$

$\Leftrightarrow ^{w}log\ {xy}=\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow ^{w}log\ {x}+^{w}log\ {y}=\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow 2+^{w}log\ {y}=\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\frac{5}{2}-2$

$\Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow ^{y}log\ {w}=2$ $\D$

4. SIMAK UI 2013 Kode 331
Diketahui bahwa:
$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
maka nilai $x$ adalah$\cdots$
$(1)\ \frac{1}{3}$
$(2)\ 1$
$(3)\ 48$
$(4)\ 162$

$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$

Jika kita perhatikan persamaan diatas, tiap ruas mengandung $^{3}log\ x$ sehingga persamaan akan memenuhi untuk $x=1$.

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 3$ sehingga kita peroleh;

$\Rightarrow$ $^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3=$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3$

$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x=$ $^{6}log\ x+^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3$

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 6$ sehingga kita peroleh;

$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6=$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3 \cdot\ ^{x}log\ 6$

$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $1+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$

$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ 9+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$

$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ (9 \cdot 6 \cdot 3)$

$\therefore$ $x=9 \cdot 6 \cdot 3=162$.

Untuk pilihan dalam $ABCDE$ jika yang benar hanya pilihan $(2)$ dan $(4)$ maka jawabnya adalah $\C$

5. SIMAK UI 2012 Kode 222
Jika diketahui:
$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$ maka $f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})=\cdots$
$(A)\ 461$
$(B)\ 462$
$(C)\ 463$
$(D)\ 464$
$(E)\ 465$

$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$

$f(8)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{7}log\ 8$

$f(2^{3})=^{2}log\ 8=3$

$f(16)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{15}log\ 16$

$f(2^{4})=^{2}log\ 16=4$

$f(32)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{31}log\ 32$

$f(2^{5})=^{2}log\ 8=5$

$\vdots$

$f(2^{30})=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{2^{30}-1}log\ 2^{30}$

$f(2^{30})=^{2}log\ 2^{30}=30$

$f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})$

$=3+4+5+\cdots+30$

$=15 \cdot 31 -3$

$=462$ $\B$

6. SIMAK UI 2012 Kode 222
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $log\ a^{2}$ dan keliling $log\ b^{4}$, maka $^{a}log\ b=\cdots$
$(A)\ \frac{1}{4\pi}$
$(B)\ \frac{1}{\pi}$
$(C)\ \pi$
$(D)\ 2\pi$
$(E)\ 10^{2\pi}$

Keliling Lingkaran $=2 \pi r$

$log\ b^{4}=2 \pi\ log\ a^{2}$

$4 log\ b=2 \pi\ 2 log\ a$

$4 log\ b=4 \pi\ log\ a$

$log\ b= \pi\ log\ a$

$\frac{log\ b}{log\ a}= \pi$

$^{a}log\ b= \pi$ $\C$

7. USM STIS 2015
Jika diketahui $x=log\ a$, $y=log\ b$ dan $z=log\ c$. Maka bentuk sederhana dari $log\left (\frac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$ dalam $x$, $y$ dan $z$ adalah$\cdots$
$(A)\ log \left (\frac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \right )$
$(B)\ log\ x-log\ y^{2}+log \sqrt{z}$
$(C)\ \frac{x}{y^{2}}\sqrt{z}$
$(D)\ x-2y+ \frac{1}{2}z$
$(E)\ x-y^{2}+\sqrt{c}$

$log\left (\frac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$

$=log\left (\frac{a}{b^{2}}\right )+log\ \sqrt{c}$

$=log\ a-log\ b^{2} + log\ c^{\frac{1}{2}}$

$=log\ a-2\ log\ b +\frac{1}{2} log\ c$

$=x-2y +\frac{1}{2} z$ $\D$

8. USM STIS 2017
$\frac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}=\cdots$
$(A)\ \frac{1}{2}$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 4$
$(E)\ 5$

Untuk menyelesaikan soal logaritma diatas kita gunakan sifat aljabar $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

$\frac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}$

$=\frac{\left (^{5}log\ 10\ +\ ^{5}log\ 2 \right) \left(^{5}log\ 10\ -\ ^{5}log\ 2 \right)}{^{5}log\ 20^{\frac{1}{2}}}$

$=\frac{\left (^{5}log\ 20\right) \left(^{5}log\ 5\right)}{\frac{1}{2}\ ^{5}log\ 20}$

$=\frac{1}{\frac{1}{2}}$

$=2$ $\C$

9. UM UNDIP 2015 Kode 517
Diketahui persamaan
\begin{split}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )\\
&=^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )\\
&=0\end{split}maka nilai dari $a+b+c$ adalah$\cdots$
$(A)\ 145$
$(B)\ 156$
$(C)\ 166$
$(D)\ 178$
$(E)\ 200$

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma diatas, kita coba selesaikan persamaannya satu persatu, persamaan pertama;

\begin{split}^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=0\\

^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{3}log\ 1\\

^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=1\\

^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{5}log\ 5\\

\left(^{2}log\ b\right )&=5\\

b&=2^{5}\\

b&=32\end{split}

Persamaan kedua;

\begin{split}^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=0\\

^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{5}log\ 1\\

^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=1\\

^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{2}log\ 2\\

\left(^{3}log\ c\right )&=2\\

c&=3^{2}\\

c&=9\end{split}

Persamaan ketiga;

\begin{split}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=0\\

^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{2}log\ 1\\

^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&= 1\\

^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{3}log\ 3\\

\left(^{5}log\ a\right )=3\\

a=5^{3}\\

a=125\end{split}

$a+b+c=125+32+9=166$

10. SIMAK UI 2010 Kode 203
Jika $(p,q)$ merupakan penyelesaian dari sistem berikut:
\begin{split}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
\end{split} maka nilai $p-q=\cdots$
$(A)\ 2$
$(B)\ 4$
$(C)\ 5$
$(D)\ 9$
$(E)\ 13$

Sistem persamaan diatas mempunyai peneyelesaian $(p,q)$, sehingga kita harus mendapatkan nilai $p$ dan $q$ yang berturut-turut merupakan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan.

Pertama kita coba sederhanakan sistem persamaan. Persamaan pertama sudah berada pada bentuk yang paling sederhana, sehingga yang perlu kita sederhanakan adalah persamaan kedua;

\begin{split}

^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\

2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2^{2}}log\ {(2y)}^{2} &=1\\

2\ ^{3}log\ x\ -\ \frac{2}{2}\ ^{2}log\ {2y} &=1\\

2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2y} &=1\\

2\ ^{3}log\ x\ -\ (^{2}log\ {2}+^{2}log\ {y}) &=1\\

2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2}-^{2}log\ {y} &=1\\

2\ ^{3}log\ x\ -^{2}log\ {y} &=2\\

\end{split}

Sistem persamaan sekarang bisa kita tuliskan menjadi;

\begin{split}

^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\

2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ y &=2\\

\end{split}

Untuk mempermudah penulisan atau penyelesaian persamaan diatas, kita misalkan $^{3}log\ x\ =m$ dan $^{2}log\ y\ =n$. Dengan pemisalan ini sistem persamaan bisa kita tuliskan menjadi;

\begin{split}

m\ +\ n\ &=4\\

2\ m\ -\ n\ &=2\\

\end{split}

Dengan mengeliminasi atau mengsubstitusi sistem persamaan diatas, maka kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=2$.

Untuk nilai $m=2$ maka $^{3}log\ x\ =2$ sehingga $x=3^{2}$

Untuk nilai $n=2$ maka $^{2}log\ y\ =2$ sehingga $y=2^{2}$

Nilai $p-q=9-4=5$ $\C$

11. SIMAK UI 2010 Kode 203
Nilai $\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}=\cdots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 5$
$(E)\ 6$

$\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}$

$=\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \frac{^{5}log\ 6}{^{5}log\ 6}$

$=\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}$

$=\frac{^{2}log\ 5\ +\ ^{3}log\ 5}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \frac{^{5}log\ 3}{^{5}log\ 3}$

$=\frac{^{2}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}$

$=\frac{^{2}log\ 3\ +\ 1}{^{2}log\ 6}$

$=\frac{^{2}log\ 3\ +\ ^{2}log\ 2}{^{2}log\ 6}$

$=\frac{^{2}log\ (3 \cdot 2)}{^{2}log\ 6}$

$=\frac{^{2}log\ 6}{^{2}log\ 6}$

$=1$ $\B$

12. UM UGM 2017 Kode 723
Jika $^{2}log\ (a-b)=4$, maka $^{4}log\ \left (\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )=\cdots$
$(A)\ \frac{^{2}log\ a-4}{4}$
$(B)\ \frac{^{2}log\ a+4}{4}$
$(C)\ \frac{^{2}log\ a-2}{2}$
$(D)\ \frac{^{2}log\ a+2}{2}$
$(E)\ \frac{^{2}log\ a-1}{2}$

$^{4}log\ \left (\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )$

$=\ ^{4}log\ \left (\frac{4\sqrt{a}}{a-b} \right )$

$=\ ^{4}log\ 4\sqrt{a} -\ ^{4}log\ (a-b)$

$=\ ^{4}log\ 4 +\ ^{4}log\ \sqrt{a} -\ \frac{1}{2} \cdot ^{2}log\ (a-b)$

$=1 +\ ^{2^{2}}log\ a^{\frac{1}{2}} -\ \frac{1}{2} \cdot 4$

$=1 +\ \frac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 2$

$=\frac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 1$

$=\frac{^{2}log\ a -\ 4}{4}$ $\A$

13. SIMAK UI 2009 Kode 911
${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3$ dan ${}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) = 0 $, maka $ x + y = \cdots $
$(1)\ 2\sqrt{7} $
$(2)\ -4\sqrt{7} $
$(3)\ -2\sqrt{7} $
$(4)\ 4\sqrt{7} $

Kita coba mulai bermain dari persamaan pertama ${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3 $, dengan mengusahakan bilangan pokok logaritma jadi sama.

$ \begin{align}

{}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y & = 3 \\

{}^3 \log x + 2\ {}^{3^2} \log y & = 3 \\

{}^3 \log x + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot {}^3 \log y & = 3 \\

{}^3 \log x + {}^3 \log y & = 3 \\

{}^3 \log xy & = 3 \\

xy & = 3^3 \\

xy & = 27 \\

\end{align} $

Syarat bilangan ${}^3 \log x$ adalah $ x > 0 $ dan syarat ${}^9 \log y$ adalah $ y > 0 $.

Lalu kita bermain dari persamaan kedua $ {}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) = 0 $

$ \begin{align}

{}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) & = 0 \\

\frac{x-y}{2} & = 3^0 \\

\frac{x-y}{2} & = 1 \\

x - y & = 2

\end{align} $

Dari hasil yang kita peroleh dari persamaan pertama $ xy = 27 $ dan kedua $ x - y = 2 $;

$ \begin{align}

x - y & = 2 \\

(x - y)^2 & = 2^2 \\

x^2 + y^2 - 2xy & = 4 \\

x^2 + 2xy + y^2 - 4xy & = 4 \\

(x + y)^2 - 4xy & = 4 \\

(x + y)^2 & = 4 + 4xy \\

(x + y)^2 & = 4 + 4. 27 \\

(x + y)^2 & = 112 \\

x + y & = \pm \sqrt{112} \\

x + y & = \pm 4 \sqrt{7}

\end{align} $

Karena $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ dari syarat, maka nilai $ x + y$ yang memenuhi hanya $4\sqrt{7}$. Untuk pilihan dalam $ABCDE$ jika yang benar hanya pilihan $(4)$ maka jawabnya adalah $\D$.

Contoh soal dan pembahasan akan kita tambah lagi besok, silahkan pantau kembali perkembangannya pada esok hari.

Jika ada yang ingin disampaikan untuk kita diskusikan terkait masalah alaternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya 😊😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Home
Video
Lokal
Ekstra

Ente tau gak?